Перевод из одной системы счисления в другую. Малый математический факультет E в системе счисления
С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Результат уже получен!
Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k
где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система счисления | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:
Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.
Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .
Следовательно можно записать:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Получили:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.
Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома:
где s - база системы счисления, - цифры, допустимые в данной системе счисления . Последовательность образует целую часть X , а последовательность - дробную часть X .
В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN - binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT - octal), шестнадцатеричная (HEX - hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD - binary coded decimal).
В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено .
Двоичная система счисления
Основанием системы счисления служит число 2 (s = 2) и для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Чтобы представить любой разряд двоичного числа, достаточно иметь физический элемент с двумя чётко различными устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, а другое 0.
Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в двоичную, нужно внимательно изучить пример записи числа в двоичной системе счисления:
Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы .
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Эти системы счисления относятся к двоично-кодированным, в которых основание системы счисления представляет собой целую степень двойки: - для восьмеричной и - для шестнадцатеричной.
В восьмеричной системе счисления(s = 8) используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в восьмеричную, нужно внимательно изучить пример записи числа в восьмеричной системе:
В шестнадцатеричной системе счисления (s = 16) используются 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Пример записи числа в шестнадцатеричной системе:
Широкое применение восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления обусловлено двумя факторами.
Во-первых, эти системы позволяют заменить запись двоичного числа более компактным представлением (запись числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах будет соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной записи этого числа). Во-вторых, взаимное преобразование чисел между двоичной системой с одной стороны и восьмеричной и шестнадцатиречной - с другой осуществляется сравнительно просто. Действительно, поскольку для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трёх двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного - группой из четырёх двоичных разрядов (тетрад), то для преобразования двоичного числа достаточно объединить его цифры в группы по 3 или 4 разряда соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом, в случае необходимости, добавляют нули слева от целой части и/или справа от дробной части и каждую такую группу - триаду или тетраду - заменяют эвивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу).
Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы .
Соответствие между цифрами в различных системах счисления| DEC | BIN | OCT | HEX | BCD |
| 0 | 0000 | 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 | 1000 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 | 1001 |
| 10 | 1010 | 12 | A | 0001 0000 |
| 11 | 1011 | 13 | B | 0001 0001 |
| 12 | 1100 | 14 | C | 0001 0010 |
| 13 | 1101 | 15 | D | 0001 0011 |
| 14 | 1110 | 16 | E | 0001 0100 |
| 15 | 1111 | 17 | F | 0001 0101 |
Для обратного перевода каждая OCT или HEX цифра заменяется соответственно триадой или тетрадой двоичных цифр, причём незначащие нули слева и справа отбрасываются.
Для рассмотренных ранее примеров это выглядит следующим образом:
Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы .
Двоично-десятичная система счисления
В двоично-десятичной системе вес каждого разряда равен степени 10, как в десятичной системе, а каждая десятичная цифра кодируется четырьмя двоичными цифрами. Для записи десятичного числа в BCD-системе достаточно заменить каждую десятичную цифру эквивалентной четырёхразрядной двоичной комбинацией:
Любое десятичное число можно представить в двоично-десятичной записи, но следует помнить, что это не двоичный эквивалент числа. Это видно из следующего примера:
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Пусть X - число в системе счисления с основанием s , которое требуется представить в системе с основанием h . Удобно различать два случая.
В первом случае и, следовательно, при переходе к основанию h можно использовать арифметику этой системы. Метод преобразования состоит в представлении числа в виде многочлена по степеням s , а также в вычислении этого многочлена по правилам арифметики системы счисления с основанием h . Так, например, удобно переходить от двоичной или восьмеричной системы счисления к десятичной. Описанный приём иллюстрируют следующие примеры:
.
.
В обоих случаях арифметические действия выполняются по правилам системы счисления с основанием 10.
Во втором случае () удобнее пользоваться арифметикой по основанию s . Здесь следует учитывать, что перевод целых чисел и правильных дробей производится по различным правилам. При переводе смешанных дробей целая и дробная части переводятся каждая по своим правилам, после чего полученные числа записываются через запятую.
Перевод целых чисел
Правила перевода целых чисел становится ясным из общей формулы записи числа в произвольной позиционной системе. Пусть число в исходной системе счисления s имеет вид . Требуется получить запись числа в системе счисления с основанием h :
.
Для нахождения значений разделим этот многочлен на h :
.
Как видно, младший разряд , то есть , равен первому остатку. Следующий значащий разряд определяется делением частного на h :
.
Остальные также вычисляются путём деления частных до тех пор, пока не станет равным нулю.
Для перевода целого числа из s-ичной системы счисления в h-ичную необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на h (по правилам системы счисления с основанием h) до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Старшей цифрой в записи числа с основанием h служит последний остаток, а следующие за ней цифры образуют остатки от предшествующих делений, выписываемые в последовательности, обратной их получению.
При решении задач с помощью вычислительной техники исходные данные, как правило, задаются в десятичной СС, в этой же СС представляются и результаты, сами же операции выполняются в двоичной СС. Т. к. данные кодируются в двоичной СС, то возникает необходимость перевода чисел из десятичной СС в двоичную и наоборот.
Правило перевода из двоичной СС в десятичную можно сформулировать следующим образом: все цифры числа и основание СС заменяются их десятичными эквивалентами; число представляется в виде суммы произведений степеней на значения соответствующих позиций; затем производится арифметический подсчет.
Правила перевода чисел из десятичную в двоичную различны для целой и дробной частей числа.
Для перевода целого числа (или целой части смешанного числа) используется алгоритм последовательного деления исходного числа на основание новой СС (т. е. на 2), действия производятся в старой СС (в десятичной). Деление прекращается, когда очередное частное от деления станет равно 0. Остатки от деления, выписанные в обратном порядке, образуют результат.
| 1 | ||||
Таким образом,
Для перевода дробной части числа используется алгоритм последовательного умножения на основание новой СС (на 2), действия производятся в старой СС (в десятичной), целые части чисел, полученные в результате умножения дают запись результата.
Аналогично переводятся позиционные числа и с другими основаниями СС.
База заданий
1. Перевод чисел из одной СС в другую
| № | Исходное число | Новая система счисления | № | Исходное число | Новая система счисления |
| 153 10 | 1456,55 10 | ||||
| 153 10 | 1456,55 10 | ||||
| 153 10 | 1456,55 10 | ||||
| 153 10 | 1456,55 10 | ||||
| 153 10 | 1456,55 10 | ||||
| 101110 2 | 11001,11 2 | ||||
| 101110 2 | 11001,11 2 | ||||
| 101110 2 | 11001,11 2 | ||||
| 101110 2 | 11001,11 2 | ||||
| 101110 2 | 11001,11 2 | ||||
| 1235 8 | 243,44 8 | ||||
| 1235 8 | 243,44 8 | ||||
| 1235 8 | 243,44 8 | ||||
| 1235 8 | 243,44 8 | ||||
| 1235 8 | 243,44 8 | ||||
| 12121 3 | 142,11 5 | ||||
| 12121 3 | 142,11 5 | ||||
| 12121 3 | 142,11 5 | ||||
| 12121 3 | 142,11 5 | ||||
| 12121 3 | 142,11 5 | ||||
| 1АС 16 | 5А,АА 12 | ||||
| 1АС 16 | 5А,АА 12 | ||||
| 1АС 16 | 5А,АА 12 | ||||
| 1АС 16 | 5А,АА 12 | ||||
| 1АС 16 | 5А,АА 12 |
Лабораторная работа
Подключение внешних устройств к компьютеру и их настройка
Цель: изучение основных компонентов персонального компьютера и основных видов периферийного оборудования, способов их подключения, основных характеристик (название, тип разъема, скорость передачи данных, дополнительные свойства). Определение по внешнему виду типов разъемов и подключаемого к ним оборудования.
Оборудование:
| Тип разъема | Характеристика | Примечания |
| VGA | Порт для подключения внешнего монитора | |
| SPP (Standard Parallel Port) | Осуществляет 8-разрядный вывод данных с синхронизацией по опросу или по прерываниям. | Максимальная скорость вывода - около 80 кб/с. Может использоваться для ввода информации по линиям состояния, максимальная скорость ввода - примерно вдвое меньше. |
| USB | USB обеспечивает возможность соединения периферийных устройств, таких как принтер, мышь или цифровая камера к ПК. Основные преимущества USB: сокращает число плат, устанавливаемых в компьютерные разъемы, и устраняет необходимость в переконфигурировании системы; обеспечивает реальную plug-and-play установку и возможность горячей замены. Таким образом, устройства могут быть добавлены, удалены или заменены в процессе роботы ПК. USB-порты являются стандартными для большинства настольных ПК. | Максимальная скорость передачи данных по протоколу USB 1.1 составляет 1,5 мегабайта/с, по протоколу USB 2.0 - 12 мегабайт/с. Удобство состоит в том, что она практически исключает конфликты между различным оборудованием, позволяет подключать и отключать устройства в «горячем режиме» (не выключая компьютер) и позволяет объединять несколько компьютеров в простейшую локальную сеть без применения специального оборудования и программного обеспечения. |
| ECP (Enhanced Capability Port) | Интеллектуальный вариант EPP. Введена возможность разделения передаваемой информации на команды и данные, поддержка DMA и сжатия передаваемых данных методом RLE (Run-Length Encoding - кодирование повторяющихся серий). | |
| Line Out | Аудиовыход, служит для подключения наушников или колонок | |
| Line In | Аудиовход, служит для записи звука с внешнего источника | |
| Com | Служит для передачи данных между ПК, телефонами, карманными компьютерами, а также для подключения периферии. |
Типы периферийных устройств:
Устройства ввода знаковых данных:
- Специальные клавиатуры.
- Устройства командного управления.
- Специальные манипуляторы.
Устройства ввода графических данных:
- Планшетные сканеры
- Ручные сканеры
- Барабанные сканеры
- Сканеры форм
- Штрих-сканеры
- Графические планшеты (дигитайзеры)
- Цифровые фотокамеры
Устройства вывода данных:
- Матричные принтеры
- Лазерные принтеры
- Светодиодные принтеры
- Струйные принтеры
Устройства хранения данных:
- Стримеры
- Накопители на съемных магнитных дисках
- Магнитооптические устройства
- Флеш-диски
Устройства обмена данными:
- Модем
Лабораторная работа
Использования внешних устройств, подключаемых к компьютеру.
Цель: изучение основных видов периферийного оборудования, способов их подключения, основных характеристик (название, тип разъема, скорость передачи данных, дополнительные свойства). Определение по внешнему виду типов разъемов и подключаемого к ним оборудования.
Оборудование: макет системного блока, монитор, клавиатура, мышь, кабели в комплекте, периферийные устройства с различными типами разъемов (принтер, модем и др.).
Монитор - устройство визуального представления данных. Это не единственно возможное, но главное устройство вывода. Его основными потребительскими параметрами являются: размер, максимальная частота регенерации изображения, класс защиты.
Клавиатура - клавишное устройство управления персональным компьютером. Служит для ввода алфавитно-цифровых (знаковых) данных, а также команд управления. Комбинация монитора и клавиатуры обеспечивает простейший интерфейс пользователя. С помощью клавиатуры управляют компьютерной системой, а с помощью монитора получают от нее отклик.
Мышь - устройство управления манипуляторного типа. Представляет собой плоскую коробочку с двумя-тремя кнопками. Перемещение мыши по плоской поверхности синхронизировано с перемещением графического объекта (указателя мыши) на экране монитора. Мышь, в отличие от клавиатуры, не является стандартным органом управления, и персональный компьютер не имеет для нее выделенного порта. Для мыши нет и постоянного выделенного прерывания, а базовые средства ввода и вывода (BIOS) компьютера, размещенные в постоянном запоминающем устройстве (ПЗУ), не содержат программных средств для обработки прерываний мыши. Хотя мышь и не имеет выделенного порта на материнской плате, для работы с ней используют один из стандартных портов, средства для работы с которыми имеются в составе BIOS, о котором мы недавно упоминали (PS/2, СОМ)
Планшетные сканеры предназначены для ввода графической информации с прозрачного или непрозрачного листового материала. Принцип действия этих устройств состоит в том, что луч света, отраженный от поверхности материала (или прошедший сквозь прозрачный материал), фиксируется специальными элементами, называемыми приборами с зарядовой связью (ПЗС). Обычно элементы ПЗС конструктивно оформляют в виде линейки, располагаемой по ширине исходного материала. Перемещение линейки относительно листа бумаги выполняется механическим протягиванием линейки при неподвижной установке листа или протягиванием листа при неподвижной установке линейки.
Графические планшеты (дигитайзеры) - эти устройства предназначены для ввода художественной графической информации. Существует несколько различных принципов действия графических планшетов, но в основе всех их лежит фиксация перемещения специального пера относительно планшета. Такие устройства удобны для художников и иллюстраторов, поскольку позволяют им создавать экранные изображения привычными приемами» наработанными для традиционных инструментов (карандаш, перо, кисть).
Принтеры - это устройства вывода данных из ЭВМ, преобразовывающие информационные ASCII-коды в соответствующие им графические символы и фиксирующие эти символы на бумаге. Принтеры - наиболее развитая группа внешних устройств, насчитывается более 1000 модификаций.
Модем - устройство, предназначенное для обмена информацией между удаленными компьютерами по каналам связи, принято называть модемом (модулятор + демодулятор). При этом под каналом связи понимают физические линии (проводные, оптоволоконные, кабельные, радиочастотные), способ их использования (коммутируемые и выделенные) и способ передачи данных (цифровые или аналоговые сигналы). В зависимости от типа канала связи устройства приема-передачи подразделяют на радиомодемы, кабельные модемы и прочие. Наиболее широкое применение нашли модемы, ориентированные на подключение к коммутируемым телефонным каналам связи.
Лабораторная работа
Люди не сразу научились считать. Первобытное общество ориентировалось на незначительное число предметов - один или два. Все, что было больше, по умолчанию наименовалось "много". Именно это считается началом современной системы исчисления.
Краткая историческая справка
В процессе развития цивилизации у людей стала появляться необходимость разделять небольшие совокупности предметов, объединенные общими признаками. Стали возникать соответствующие понятия: "три", "четыре" и так далее до "семи". Однако это был закрытый, ограниченный ряд, последнее понятие в котором продолжало нести смысловую нагрузку более раннего "много". Ярким примером этого является народный фольклор, дошедший до нас в первозданном виде (например, пословица "Семь раз отмерь - один раз отрежь").
Возникновение сложных способов счета
С течением времени жизнь и все процессы деятельности людей усложнялись. Это привело, в свою очередь, к возникновению более сложной системы исчисления. При этом люди использовали для наглядности выражения простейшие инструменты счета. Находили они их вокруг себя: они чертили палочки на стенах пещеры подручными средствами, делали зарубки, выкладывали интересующие их числа из палок и камней - вот лишь небольшой список существовавшего тогда многообразия. В дальнейшем современными учеными данному виду было присвоено уникальное название "унарная система исчисления". Ее суть состоит в записи числа с применением единственного вида знаков. Сегодня это наиболее удобная система, позволяющая визуально сопоставлять количество предметов и знаков. Наибольшее распространение она получила в начальных классах школ (счетные палочки). Наследством "камешкового счета" можно смело считать современные аппараты в их различных модификациях. Интересно и возникновение современного слова "калькуляция", корни которого идут от латинского calculus, что переводится не иначе как "камешек".
Счет на пальцах
В условиях крайне скудного словарного запаса первобытного человека жесты довольно часто служили важным дополнением к передаваемой информации. Преимущество пальцев было в их универсальности и в постоянном нахождении с объектом, который хотел передать информацию. Однако здесь есть и существенные недостатки: значительная ограниченность и кратковременность передачи. Поэтому весь счет людей, пользовавшихся "пальцевым способом", ограничивался цифрами, кратными количеству пальцев: 5 - соответствует количеству пальцев на одной руке; 10 - на обеих руках; 20 - общее количество на руках и ногах. Благодаря сравнительно медленному развитию числового запаса данная система просуществовала достаточно долгий временной промежуток.
Первые усовершенствования
С развитием системы исчисления и расширением возможностей и потребностей человечества максимальным используемым числом в культурах многих народов стало 40. Под ним также понималось неопределенное (не поддающееся счету) количество. На Руси широкое распространение получило выражение "сорок сороков". Его смысл сводился к количеству предметов, которое невозможно посчитать. Следующая ступень развития - это появление числа 100. Далее началось деление на десятки. Впоследствии стали появляться числа 1000, 10 000 и так далее, каждое из которых несло смысловую нагрузку, аналогичную семи и сорока. В современном мире границы конечного счета не определены. На сегодняшний день введено универсальное понятие "бесконечность".
Целые и дробные числа
Современные системы исчисления за наименьшее количество предметов принимают единицу. В большинстве случаев она является неделимой величиной. Однако при более точных измерениях она также подвергается дроблению. Именно с этим связано появившееся на определенном этапе развития понятие дробного числа. Например, вавилонская система денег (весов) составляла 60 мин, что равнялось 1 талану. В свою очередь 1 мина приравнивалась к 60 шекелям. Именно на основе этого вавилонская математика широко применяла шестидесятеричное дробление. Широко используемые в России дроби пришли к нам от древних греков и индийцев. При этом сами записи идентичны индийским. Незначительное отличие составляет отсутствие у последних дробной черты. Греки сверху прописывали числитель, а снизу знаменатель. Индийский вариант написания дробей получил широкое развитие в Азии и Европе благодаря двум ученым: Мухаммеду Хорезмскому и Леонардо Фибоначчи. Римская система исчисления приравнивала 12 единиц, называемых унциями, к целому (1 асс), соответственно, в основе всех вычислений лежали двенадцатиричные дроби. Вместе с общепринятыми довольно часто применялись и специальные деления. Так, например, астрономами до XVII века применялись так называемые шестидесятиричные дроби, которые были впоследствии вытеснены десятичными (ввел в обиход Симон Стевин - ученый-инженер). В результате дальнейшего прогресса человечества возникла необходимость в еще более значительном расширении числового ряда. Так появились отрицательные, иррациональные и Знакомый всем ноль появился относительно недавно. Он начал применяться при введении в современные системы исчисления отрицательных чисел.
Использование непозиционного алфавита
Что представляет собой такой алфавит? Для данной системы исчисления характерно, что значение цифр не меняется от их расстановки. Непозиционному алфавиту свойственно наличие неограниченного количества элементов. В основе систем, строящихся на базе данного вида алфавита, лежит принцип аддитивности. Другими словами, общее значение числа состоит из суммы всех цифр, которые включает запись. Возникновение непозиционных систем произошло раньше позиционных. В зависимости от способа счета общее значение числа определяется как разность или сумма всех цифр, входящих в состав числа.
Существуют недостатки таких систем. Среди основных следует выделять:
- введение новых цифр при формировании большого числа;
- невозможность отразить отрицательные и дробные числа;
- сложность выполнения арифметических действий.
В истории человечества применялись различные системы исчисления. Наиболее известными считаются: греческая, римская, алфавитная, унарная, древнеегипетская, вавилонская.
Один из наиболее распространенных способов счета
Сохранившаяся до наших дней практически в неизменном виде, является одной из самых известных. При помощи нее обозначаются различные даты, юбилейные в том числе. Также она нашла широкое применение в литературе, науке и других областях жизни. В римской системе исчисления используются всего семь букв каждая из которых соответствует определенному числу: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
Возникновение
Само происхождение римских цифр непонятно, история не сохранила точных данных их появления. При этом несомненным является факт: значительное влияние на римскую нумерацию оказала пятеричная система исчисления чисел. Однако в латинском языке отсутствуют упоминания о ней. На этом основании возникла гипотеза о заимствовании древними римлянами своей системы у другого народа (предположительно, у этрусков).
Особенности
Запись всех целых чисел (до 5000) производится при помощи повторения описанных выше цифр. Ключевой особенностью является расположение знаков:
- сложение происходит при том условии, что большее стоит перед меньшим (XI = 11);
- вычитание происходит, если меньшая цифра стоит перед большей (IX = 9);
- один и тот же знак не может стоять подряд более трех раз (например, 90 записывается ХС вместо LXXXX).
Недостатком ее является неудобство выполнения арифметических действий. При этом она просуществовала довольно долго и перестала использоваться в Европе в качестве основной системы исчисления сравнительно недавно - в 16-м веке.
Римская система исчисления не считается абсолютно непозиционной. Связано это с тем, что в ряде случаев происходит вычитание меньшей цифры из большей (например, IX = 9).
Способ счета в Древнем Египте
Третье тысячелетие до нашей эры считается моментом возникновения системы исчисления в Древнем Египте. Суть ее состояла в записи специальными знаками цифр 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107. Все остальные числа записывались в виде комбинации данных исходных знаков. При этом существовало ограничение - каждая цифра должна была повторяться не более девяти раз. В основе этого способа счета, который современные ученые называют "непозиционная десятичная система исчисления", лежит простой принцип. Смысл его состоит в том, что написанное число равнялось сумме всех цифр, из которых оно состояло.
Унарный способ счета
Система исчисления, в которой при записи чисел использован один знак - I - называется унарной. Каждое последующее число получается в результате прибавления новой I к предыдущему. При этом количество таких I равно значению записанного при помощи них числа.
Восьмеричная система исчисления
Это позиционный способ счета, в основании которого лежит число 8. Для отображения чисел используется цифровой ряд от 0 до 7. Широкое применение данная система получила в производстве и использовании цифровых устройств. Основным ее преимуществом является легкий перевод чисел. Их можно преобразовать в и обратно. Данные манипуляции осуществляются благодаря замене чисел. Из восьмиричной системы они переводятся в двоичные триплеты (например, 28 = 0102, 68 = 1102). Данный способ счета был распространен в области компьютерного производства и программирования.
Шестнадцатиричная система исчисления
В последнее время в компьютерной сфере данный способ счета используется достаточно активно. В корне данной системы лежит основание - 16. Система исчисления, базирующаяся на нем, предполагает использование цифр от 0 до 9 и ряда букв латинского алфавита (от А до F), которые применяются для обозначения интервала от 1010 до 1510. Данный способ счета, как уже было отмечено, используется при производстве программного обеспечения и документации, связанной с компьютерами и их составляющими. Основано это на свойствах современного компьютера, основной единицей которого является 8-битная память. Ее удобно преобразовывать и записывать при помощи двух шестнадцатиричных цифр. Основоположником такого процесса явилась система IBM/360. Документация для нее была впервые переведена этим способом. Стандарт Юникода предусматривает запись любого символа в шестнадцатиричном виде с использованием не менее 4 цифр.
Способы записи
Математическое оформление способа счета основывается на указании его в нижнем индексе в десятичной системе. Пример, число 1444 записывается в виде 144410. Языки программирования для записи шестнадцатиричных систем имеют разные синтаксисы:
Заключение
Как изучаются Информатика - основная дисциплина, в рамках которой осуществляется накопление данных, процесс их оформления в удобный для потребления вид. С применением особых инструментов происходит оформление и перевод всей доступной информации в язык программирования. Он в дальнейшем используется при создании программного обеспечения и компьютерной документации. Изучая различные системы исчисления, информатика предполагает использование, как уже сказано было выше, разных инструментов. Многие из них способствуют осуществлению быстрого перевода чисел. Одним из таких "инструментов" является таблица систем исчисления. Пользоваться ею достаточно удобно. При помощи данных таблиц можно, например, быстро перевести число из шестнадцатиричной системы в двоичную, не обладая при этом специальными научными знаниями. Сегодня возможность осуществлять цифровые преобразования есть практически у каждого заинтересованного в этом человека, поскольку необходимые инструменты предлагаются пользователям на открытых ресурсах. Кроме того, существуют и программы онлайн-перевода. Это существенно упрощает задачу по преобразованию чисел и сокращает время операций.
Сдающим ЕГЭ и не только…
Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.
Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:
Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102
Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?
В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.
Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.
Таблица степеней числа 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.
Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.
Перевод целых чисел
Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.
- Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
- Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
- Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
- У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .
Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.
Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.
810 =
А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010
.
Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».
Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.
Теперь пример попроще.
Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.
Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.
Переведем в двоичную систему число 547 8 .
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Ещё одно, например 7D6A 16 .
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Перевод отрицательных чисел
Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.
Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.
Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.
Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ - 4.
Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.
Перевод дробных чисел
Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.
Переведем число 0,6752 в двоичную систему.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.
Получается 0,6752 = 0,101011 .
Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .